제7장 고장 계산
『최신 송배전공학』(송길영) 273~310쪽 정리 · 오래된 규정은 KEC 기준으로 보완
굵게(노랑) = 중요 용어
빨강 굵게·밑줄 = 가장 중요
연보라 기울임 = 단점·위험·주의
★★★~★ = 빈출도
초록 상자 = 최신 보완
보라 상자 = 예제
주황 상자 = 현장 점검
※ 사진에 없는 쪽: 277~280쪽(예제 7.2 풀이 뒷부분 ~ 예제 7.5 앞부분), 297~300쪽(표 7.1 이후 ~ 7.6 앞), 311쪽 이후(예제 7.11 풀이 뒷부분). 이 부분은 앞뒤 내용으로 보충했고 작은 글씨 메모로 표시함.
7.1 개요 ★★
송전 선로는 뇌해·풍수해·설해·염진해 등으로 사고가 날 수밖에 없다. 사고 종류는 다음과 같다.
- 1선 지락 — 가장 많이 발생
- 선간 단락, 2선 지락
- 3선 지락(3상 단락) — 심한 경우, 아주 드묾
- 단선 사고
정의 고장 계산 = 송전 계통의 고장 시 상태를 해석해서 지락 전류·단락 전류, 건전상의 전압 상승 등을 수치로 구해 고장 상황에 대처할 수 있게 하는 것
1) 고장 전류를 미리 알아야 하는 이유
- 차단기의 차단 용량 결정
- 보호 계전기의 정정(setting)
- 기기에 가해지는 전자력(기계적 강도) 추정
- 지락 전류에 의한 통신선 유도 장해 크기 검토
2) 평형 고장과 불평형 고장
| 구분 | 고장 종류 | 해석 방법 |
|---|---|---|
| 평형 고장 | 3상 단락 | 1상분만 계산(옴법, %법) |
| 불평형 고장 | 1선 지락, 2선 지락, 선간 단락 — 대부분의 사고 | 대칭 좌표법 |
7.2 3상 단락 고장
3상 단락은 극히 드물지만 가장 큰 고장 전류가 흐른다 → 차단기 용량, 계전기 정정, 전자력 추정의 기준이 된다. 평형 고장이므로 고장점 대지 전압 ÷ 고장점에서 본 계통 임피던스로 바로 구한다.
7.2.1 옴(Ω)법에 의한 계산 ★★
ㄱ. 3상 단락 전류
$$\boxed{I_s=\frac{E}{Z}=\frac{E}{\sqrt{R^2+X^2}}\ [\text{A}]}\qquad (7.1)$$
ㄴ. 3상 단락 용량
$$\boxed{P_s=3EI_s=\sqrt3\,V I_s\ [\text{kVA}]}\qquad (7.2)$$
$I_s$: 3상 단락 전류[A], $P_s$: 3상 단락 용량[kVA]
$E$: 고장 직전 고장점의 상전압[V], $V$: 선간 전압[kV] $(=\sqrt3E)$
$Z$: 고장점에서 전원 측을 본 계통 임피던스[Ω] $=R+jX$ ($R$: 저항[Ω], $X$: 리액턴스[Ω])
- 전압이 다른 회로의 임피던스를 합치려면 권수비(전압비)의 제곱을 곱해 한 전압 기준으로 환산해야 한다.
- △-△ 결선이면 △→Y로 바꿔야 한다.
- 이런 환산이 불편해서 실무에서는 별로 쓰지 않는다 → %법을 주로 사용
ㄷ. %리액턴스 → Ω 환산 (예제에 쓰인 식, $V$[kV], 용량[kVA])
$$x\,[\Omega]=\frac{\%x\times 10V^2}{\text{kVA}}$$
예제 7.1
그림 ② 예제 7.1의 계통 (책 그림 7.1)
그림 ②의 고압 송전선 S점에서 3상 단락 전류와 단락 용량을 구하라. G₁, G₂ 각 30,000[kVA]·22[kV]·리액턴스 30[%], 변압기 60,000[kVA]·22/154[kV]·리액턴스 11[%], 선로 100[km], $Z=0+j0.5$[Ω/km].
풀이 — 선로측 전압 154[kV]에 맞춰 환산
$$x_g=\frac{30\times10\times154^2}{60{,}000}=118.58\,[\Omega],\quad x_t=\frac{11\times10\times154^2}{60{,}000}=43.48\,[\Omega],\quad x_l=0.5\times100=50\,[\Omega]$$ $$I_s=\frac{154{,}000/\sqrt3}{118.58+43.48+50}=\boxed{419.3\ [\text{A}]}$$ $$P_s=\sqrt3\times154\times419.3\fallingdotseq\boxed{111{,}840\ [\text{kVA}]}$$메모: $x_g$ 계산의 60,000[kVA]는 G₁, G₂ 두 대(30,000×2)를 병렬로 합친 값이다. 한 대씩 Ω으로 바꾸면 237.16[Ω]이고, 둘을 병렬로 묶으면 118.58[Ω]이 된다.
7.2.2 %법에 의한 계산 ★★★
ㄱ. %임피던스 정의
$$\boxed{\%Z=\frac{Z\,[\Omega]\;I_n}{E}\times100\ [\%]}\qquad\Rightarrow\qquad Z\,[\Omega]=\frac{\%Z\times E}{100\,I_n}\qquad(7.3)$$
ㄴ. 3상 단락 전류 ★★★
$$\boxed{I_s=\frac{100}{\%Z}\times I_n\ [\text{A}]}\qquad(7.4)$$
ㄷ. 3상 단락 용량 ★★★
$$\boxed{P_s=\frac{100}{\%Z}\times P_n\ [\text{kVA}]}\qquad(7.5)$$
$I_n$: 정격 전류, $P_n=\sqrt3VI_n$: 정격(기준) 용량, $P_s=\sqrt3VI_s$: 3상 단락 용량
- 단락 전류는 정격 전류의 100/%Z 배 — 정격 전류를 몰라도 %Z만 알면 “몇 배”인지 바로 안다.
- 예) %Z = 5[%] → 단락 전류 = 정격 전류의 20배
- 기준 용량 환산: 기기마다 kVA 용량이 다르면 먼저 %Z를 같은 기준 용량으로 환산한 뒤 합산한다.
ㄹ. 기준 용량 환산 ★★★
$$\boxed{\%Z_{\text{기준}}=\%Z_{\text{자기}}\times\frac{P_{\text{기준}}}{P_{\text{자기 용량}}}}$$
ㅁ. Ω ↔ % 환산 ($P$[kVA], $V$[kV])
$$\%Z=\frac{P\cdot Z}{10\,V^2}\qquad\qquad Z=\frac{10\,V^2\cdot\%Z}{P}$$
예제 7.2
예제 7.1을 %법으로 풀어라. (기준 용량 $P_0=100{,}000$[kVA])
풀이
$$I_n=\frac{100{,}000}{\sqrt3\times154}=374.9\ [\text{A}]$$ $$\%x_g=30\times\frac{100{,}000}{60{,}000}=50\,[\%],\quad \%x_t=11\times\frac{100{,}000}{60{,}000}=18.33\,[\%],\quad \%x_l=\frac{100{,}000\times50}{10\times154^2}=21.08\,[\%]$$ $$\%Z=50+18.33+21.08=89.41\,[\%]$$ $$I_s=\frac{100}{89.41}\times374.9=\boxed{419.3\ [\text{A}]},\qquad P_s=\frac{100}{89.41}\times100{,}000\fallingdotseq\boxed{111{,}840\ [\text{kVA}]}$$메모: 책의 풀이는 첫 줄만 사진에 있고(277쪽 이후 없음) 나머지는 직접 풀어 채움. 옴법과 결과가 같다.
1) 차단기의 차단 용량
차단기는 설치 지점에서 단락이 났을 때의 단락 용량 이상인 표준값으로 고른다.
ㄱ. 차단 용량
$$\boxed{P_s=\frac{100}{\%Z}\times P_{\text{기준}}\ \le\ \text{차단기 정격 차단 용량}=\sqrt3\times\text{정격 전압}\times\text{정격 차단 전류}}$$
예제 (281쪽, 차단 용량)
메모: 문제 본문(279~280쪽)이 사진에 없어 281쪽에 남은 풀이만 정리함. 기준 용량 30,000[kVA].
- O₃의 차단 용량 — S₂점 단락 시 G₁과 G₂의 단락 전류가 합쳐서 유입:
$O_3=100{,}000+143{,}000=243{,}000$[kVA] → 243,000[kVA] 이상의 표준값 - O₄의 차단 용량 — S₃점에서 본 합성 %임피던스: $$x_{03}=\frac{30\times21}{30+21}+12=24.3\,[\%]$$ $$O_4=\frac{100}{24.3}\times30{,}000=123{,}457\ [\text{kVA}]$$ → 124,000[kVA] 이상의 표준값
최신 보완
- 요즘 차단기는 차단 용량[MVA]보다 정격 차단 전류[kA]로 표시한다. 예) 22.9[kV]급 VCB: 정격 전압 25.8[kV](또는 24[kV]), 정격 차단 전류 12.5[kA]·25[kA] 등. 옛 표기 520[MVA] ≈ 12.5[kA]급이다.
- 실무 단락 전류 계산은 IEC 60909 방식을 많이 쓴다. 최대 단락 전류를 구할 때 전압 계수 $c_{\max}=1.1$(고압)을 곱해 여유를 준다: $I_k”=\dfrac{c\,V_n}{\sqrt3\,|Z_k|}$
- 책의 %법은 전압 계수를 빼고 계산한 것으로, 시험(전기기사·산업기사) 풀이와 개략 검토에 그대로 쓴다.
최신 보완
수용가 변압기 2차측 단락 전류 (자주 쓰는 계산) — 변압기 %Z만으로 개략값을 구한다(전원측 임피던스는 무시 → 안전측).
$$I_n=\frac{1{,}000}{\sqrt3\times0.38}=1{,}519\ [\text{A}],\qquad I_s=\frac{100}{5}\times1{,}519\fallingdotseq\boxed{30.4\ [\text{kA}]}$$1,000[kVA], 22.9[kV]/380[V], %Z = 5[%]인 경우 → 저압 주차단기(ACB) 정격 차단 전류는 30.4[kA]보다 큰 것(예: 50[kA])으로 골라야 한다.
7.3 대칭 좌표법에 의한 고장 계산 ★★★
3상 단락처럼 평형이면 1상만 계산하면 되지만, 1선 지락 같은 불평형 고장은 각 상 전압을 따로 구해야 해서 어렵다.
정의 대칭 좌표법 = 불평형 전류·전압을 대칭적인 3개의 성분(영상·정상·역상)으로 나누어 각각 따로 계산(평형 회로 계산)한 다음, 마지막에 중첩시켜 실제의 불평형 값을 구하는 방법
7.3.1 대칭분 전류
1) 벡터 연산자 a
ㄱ. 연산자
$$a=1\angle120^\circ=-\frac12+j\frac{\sqrt3}{2},\qquad a^2=1\angle240^\circ=-\frac12-j\frac{\sqrt3}{2},\qquad a^3=1$$
ㄴ. 꼭 외울 관계 ★★★
$$\boxed{1+a+a^2=0,\qquad a^3=1}\qquad(7.8)$$
- $a$를 곱하면 위상이 120° 앞선다.
- $a^2$을 곱하면 240° 앞선다(= 120° 뒤진다).
- 크기는 변하지 않고 방향(위상)만 돌린다.
2) 불평형 → 대칭분 (분해)
ㄱ. 대칭분 전류 ★★★
$$\boxed{\begin{aligned}\dot I_0&=\tfrac13(\dot I_a+\dot I_b+\dot I_c)\\ \dot I_1&=\tfrac13(\dot I_a+a\dot I_b+a^2\dot I_c)\\ \dot I_2&=\tfrac13(\dot I_a+a^2\dot I_b+a\dot I_c)\end{aligned}}\qquad(7.6)$$
ㄴ. 행렬 표현
$$\begin{bmatrix}\dot I_0\\ \dot I_1\\ \dot I_2\end{bmatrix}=\frac13\begin{bmatrix}1&1&1\\1&a&a^2\\1&a^2&a\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\dot I_a\\ \dot I_b\\ \dot I_c\end{bmatrix}\qquad(7.7)$$
3) 대칭분 → 실제 상전류 (합성)
ㄱ. 각 상 전류 ★★★
$$\boxed{\begin{aligned}\dot I_a&=\dot I_0+\dot I_1+\dot I_2\\ \dot I_b&=\dot I_0+a^2\dot I_1+a\dot I_2\\ \dot I_c&=\dot I_0+a\dot I_1+a^2\dot I_2\end{aligned}}\qquad(7.9)$$
ㄴ. 행렬 표현
$$\begin{bmatrix}\dot I_a\\ \dot I_b\\ \dot I_c\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&1&1\\1&a^2&a\\1&a&a^2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\dot I_0\\ \dot I_1\\ \dot I_2\end{bmatrix}\qquad(7.10)$$
외우는 요령: 분해(7.6)는 b상에 a, c상에 a² (정상분 기준), 합성(7.9)은 정상분 İ₁ 앞에 b상 a², c상 a — 서로 반대.
4) 세 대칭분의 의미
| 성분 | 모양 | 특징·영향 |
|---|---|---|
| 영상분 $\dot I_0$ | 세 상 모두 같은 크기·같은 위상의 단상 전류 | 중성선·대지로 $3\dot I_0$가 흐름 → 지락 계전기를 동작시킴 / 통신선에 전자 유도 장해 |
| 정상분 $\dot I_1$ | $\dot I_1,\ a^2\dot I_1,\ a\dot I_1$ — 전원과 같은 상회전(a→b→c)의 평형 3상 | 전동기에 회전 토크를 줌 (정상 운전 전류) |
| 역상분 $\dot I_2$ | $\dot I_2,\ a\dot I_2,\ a^2\dot I_2$ — 반대 상회전(a→c→b)의 평형 3상 | 전동기에 제동 작용 → 출력 감소, 과열 |
7.3.2 대칭분 전압
전류 식의 $\dot I$를 모두 $\dot V$로 바꾸면 그대로 전압의 대칭분이 된다.
ㄱ. 분해
$$\begin{aligned}\dot V_0&=\tfrac13(\dot V_a+\dot V_b+\dot V_c)\\ \dot V_1&=\tfrac13(\dot V_a+a\dot V_b+a^2\dot V_c)\\ \dot V_2&=\tfrac13(\dot V_a+a^2\dot V_b+a\dot V_c)\end{aligned}\ (7.11)$$
ㄴ. 합성
$$\begin{aligned}\dot V_a&=\dot V_0+\dot V_1+\dot V_2\\ \dot V_b&=\dot V_0+a^2\dot V_1+a\dot V_2\\ \dot V_c&=\dot V_0+a\dot V_1+a^2\dot V_2\end{aligned}\ (7.13)$$
예제 7.6
$\dot V_a=7.3\angle12.5^\circ,\ \dot V_b=0.4\angle-100^\circ,\ \dot V_c=4.4\angle154^\circ$일 때 대칭분 $\dot V_0,\dot V_1,\dot V_2$를 구하라.
풀이 — 식 (7.11)에 대입
$$\dot V_0=\tfrac13(7.3\angle12.5^\circ+0.4\angle-100^\circ+4.4\angle154^\circ)=\boxed{1.47\angle45.1^\circ}$$ $$\dot V_1=\tfrac13\{7.3\angle12.5^\circ+(1\angle120^\circ)(0.4\angle-100^\circ)+(1\angle240^\circ)(4.4\angle154^\circ)\}=\boxed{3.97\angle20.5^\circ}$$ $$\dot V_2=\tfrac13\{7.3\angle12.5^\circ+(1\angle240^\circ)(0.4\angle-100^\circ)+(1\angle120^\circ)(4.4\angle154^\circ)\}=\boxed{2.52\angle-19.7^\circ}$$메모: 계산기로 직접 검산함(결과 일치). 각도 곱셈은 크기끼리 곱하고 각도끼리 더한다.
최신 보완
- 전압 불평형률 = $\dfrac{V_2}{V_1}\times100\,[\%]$ (역상분 ÷ 정상분). 위 예제는 2.52/3.97 ≈ 63[%]로 아주 심한 불평형이다.
- 영상분은 ZCT(영상 변류기)로 $3I_0$, GPT(접지형 계기용 변압기) 오픈 델타로 $3V_0$를 검출 → 지락 계전기(OCGR·SGR·OVGR) 동작.
- 역상분은 역상 계전기(46·47), 결상 계전기, EOCR(결상 보호형)로 검출해 전동기를 보호한다.
7.4 발전기의 기본식 ★★★
3상 발전기에 임의의 불평형 전류가 흐를 때 단자 전압과 전류의 관계. (발전기는 대칭, 무부하 유도 전압 $\dot E_a,\dot E_b,\dot E_c$는 평형)
1) 발전기의 대칭분 임피던스
- 영상 임피던스 $\dot Z_0$ — 각 상에 같은 위상의 $\dot I_0$를 흘렸을 때의 임피던스
- 정상 임피던스 $\dot Z_1$ — 정상 3상 평형 전류를 흘렸을 때의 임피던스 = 발전기 명판의 동기 임피던스
- 역상 임피던스 $\dot Z_2$ — 역상 3상 평형 전류를 흘렸을 때의 임피던스
ㄱ. 전기자 전압 강하(중첩)
$$\begin{aligned}\dot v_a&=\dot Z_0\dot I_0+\dot Z_1\dot I_1+\dot Z_2\dot I_2\\ \dot v_b&=\dot Z_0\dot I_0+a^2\dot Z_1\dot I_1+a\dot Z_2\dot I_2\\ \dot v_c&=\dot Z_0\dot I_0+a\dot Z_1\dot I_1+a^2\dot Z_2\dot I_2\end{aligned}\qquad(7.17)$$
ㄴ. 발전기의 기본식 ★★★
$$\boxed{\begin{aligned}\dot V_0&=-\dot Z_0\dot I_0\\ \dot V_1&=\dot E_a-\dot Z_1\dot I_1\\ \dot V_2&=-\dot Z_2\dot I_2\end{aligned}}\qquad(7.19)$$
- 기전력은 정상분에만 있다 — 발전기는 평형 전압만 만들므로 $\dot V_1$에만 $\dot E_a$가 들어간다.
- 불평형 전류가 주어지면 → 대칭분 $\dot I_0,\dot I_1,\dot I_2$ → 기본식으로 $\dot V_0,\dot V_1,\dot V_2$ → 식 (7.13)으로 실제 단자 전압 $\dot V_a,\dot V_b,\dot V_c$.
- 반대로 불평형 전압이 주어져도 같은 식으로 전류를 구한다.
예제 7.7
정격 10[MVA], 무부하 단자 전압 6.6[kV] 동기 발전기. $\dot Z_1=0.08+j4.38$, $\dot Z_2=0.49+j1.34$, $\dot Z_0=0.16+j0.54$[Ω]. 불평형 전류 $\dot I_a=338-j516$, $\dot I_b=-146-j474$, $\dot I_c=-108+j352$[A]가 흐를 때 단자 전압(상전압·선간 전압)을 구하라.
풀이 — $\dot Z_1\ne\dot Z_2$ 이므로 대칭 좌표법 사용
- 대칭분 전류 (식 7.7) $$\dot I_0=28-j213,\quad \dot I_1=393-j163,\quad \dot I_2=-83-j141\ [\text{A}]$$
- 대칭분 전압 (기본식 7.19, $E_a=6{,}600/\sqrt3=3{,}811$[V]) $$\dot V_0=-120+j19,\quad \dot V_1=3{,}066-j1{,}708,\quad \dot V_2=-148+j180\ [\text{V}]$$
- 상전압 (식 7.14) $$\dot V_a=3{,}179\angle-28.3^\circ,\quad \dot V_b=3{,}785\angle-148.1^\circ,\quad \dot V_c=3{,}566\angle89.1^\circ\ [\text{V}]$$
- 선간 전압 $$\dot V_{ab}=6{,}032\angle4.7^\circ,\quad \dot V_{bc}=6{,}455\angle-120.4^\circ,\quad \dot V_{ca}=5{,}768\angle118.4^\circ\ [\text{V}]$$
→ 단자 전압은 무부하 전압(6,600[V])보다 작고, 상간 불평형은 상당히 커진다.
7.5 무부하 발전기의 고장 계산 ★★★
고장 종류에 따라 정해지는 고장 조건식 3개 + 발전기 기본식 3개 = 1차 연립 방정식 6개 → 미지수 6개($\dot V_0,\dot V_1,\dot V_2,\dot I_0,\dot I_1,\dot I_2$)를 푼다.
1선 지락 고장 (a상 지락)
1) 고장 조건
ㄱ. 기지량 $\dot I_b=\dot I_c=0,\quad \dot V_a=0\qquad(7.20)$ ㄴ. 미지량 $\dot I_a,\ \dot V_b,\ \dot V_c$
2) 대칭분 전압·전류
$\dot I_b-\dot I_c=(a^2-a)(\dot I_1-\dot I_2)=0$ 이고 $a^2-a\ne0$ 이므로 $\dot I_1=\dot I_2$. 이것을 $\dot I_b$ 식에 넣으면 $\dot I_0-\dot I_1=0$.
ㄱ. 1선 지락의 핵심 ★★★
$$\boxed{\dot I_0=\dot I_1=\dot I_2}\qquad(7.24)$$
→ 1선 지락에서는 세 대칭분 전류의 크기와 위상이 모두 같다.
ㄴ. 대칭분 전류 ($\dot V_a=\dot V_0+\dot V_1+\dot V_2=0$에 기본식 대입) $$\dot I_0=\dot I_1=\dot I_2=\frac{\dot E_a}{\dot Z_0+\dot Z_1+\dot Z_2}\qquad(7.27)$$ ㄷ. 대칭분 전압 $$\dot V_0=-\frac{\dot Z_0\dot E_a}{\dot Z_0+\dot Z_1+\dot Z_2},\quad \dot V_1=\frac{(\dot Z_0+\dot Z_2)\dot E_a}{\dot Z_0+\dot Z_1+\dot Z_2},\quad \dot V_2=-\frac{\dot Z_2\dot E_a}{\dot Z_0+\dot Z_1+\dot Z_2}\qquad(7.28)$$3) 각 상 전압·전류
ㄱ. 지락 전류 ★★★
$$\boxed{\dot I_g=\dot I_a=\dot I_0+\dot I_1+\dot I_2=3\dot I_0=\frac{3\dot E_a}{\dot Z_0+\dot Z_1+\dot Z_2}}\qquad(7.29)$$
ㄴ. 건전상 전압
$$\dot V_b=\frac{(a^2-1)\dot Z_0+(a^2-a)\dot Z_2}{\dot Z_0+\dot Z_1+\dot Z_2}\dot E_a,\qquad \dot V_c=\frac{(a-1)\dot Z_0+(a-a^2)\dot Z_2}{\dot Z_0+\dot Z_1+\dot Z_2}\dot E_a\qquad(7.30)$$
표 7.1 대표적인 고장 종류와 계산 공식 ★★★
| 고장 종류 | 고장 조건(기지량) | 계산식(미지량) |
|---|---|---|
| 1선 지락 a상 지락 | $\dot V_a=0$ $\dot I_b=\dot I_c=0$ |
$\dot I_a=\dfrac{3\dot E_a}{\dot Z_0+\dot Z_1+\dot Z_2}$ $\dot V_b=\dfrac{(a^2-1)\dot Z_0+(a^2-a)\dot Z_2}{\dot Z_0+\dot Z_1+\dot Z_2}\dot E_a$ $\dot V_c=\dfrac{(a-1)\dot Z_0+(a-a^2)\dot Z_2}{\dot Z_0+\dot Z_1+\dot Z_2}\dot E_a$ |
| 2선 지락 b, c상 지락 | $\dot I_a=0$ $\dot V_b=\dot V_c=0$ |
$\dot I_b=\dfrac{(a^2-a)\dot Z_0+(a^2-1)\dot Z_2}{\dot Z_0(\dot Z_1+\dot Z_2)+\dot Z_1\dot Z_2}\dot E_a$ $\dot I_c=\dfrac{(a-a^2)\dot Z_0+(a-1)\dot Z_2}{\dot Z_0(\dot Z_1+\dot Z_2)+\dot Z_1\dot Z_2}\dot E_a$ $\dot V_a=\dfrac{3\dot Z_0\dot Z_2}{\dot Z_0(\dot Z_1+\dot Z_2)+\dot Z_1\dot Z_2}\dot E_a$ |
| 선간 단락 b, c상 단락 | $\dot I_a=0$ $\dot I_b+\dot I_c=0$ $\dot V_b=\dot V_c$ |
$\dot I_b=\dfrac{(a^2-a)\dot E_a}{\dot Z_1+\dot Z_2}=\dfrac{\dot E_{bc}}{\dot Z_1+\dot Z_2}$ $\dot V_a=\dfrac{2\dot Z_2\dot E_a}{\dot Z_1+\dot Z_2}$, $\dot V_b=\dot V_c=-\dfrac{\dot Z_2\dot E_a}{\dot Z_1+\dot Z_2}$ |
| 3상 단락 | $\dot V_a=\dot V_b=\dot V_c=0$ $\dot I_a+\dot I_b+\dot I_c=0$ | $\dot I_a=\dfrac{\dot E_a}{\dot Z_1}$, $\dot I_b=\dfrac{a^2\dot E_a}{\dot Z_1}$, $\dot I_c=\dfrac{a\dot E_a}{\dot Z_1}$ |
메모: 297~300쪽(2선 지락·선간 단락 유도 과정과 관련 예제)은 사진에 없음. 표 7.1의 결과식만 정리함.
시험에 잘 나오는 비교
- 3상 단락: 정상 임피던스 $Z_1$만 관계 → $I_s=E/Z_1$
- 선간 단락: $Z_1,Z_2$ 관계 (영상분 없음) → $Z_1=Z_2$이면 $|I|=\dfrac{\sqrt3E}{2Z_1}=\dfrac{\sqrt3}{2}I_s$ (3상 단락의 약 0.87배)
- 1선 지락: $Z_0,Z_1,Z_2$ 모두 관계 → 영상 임피던스가 지락 전류 크기를 좌우 (중성점 접지 방식과 직결)
7.6 계통 임피던스의 개략값 ★
1) 동기기의 표준 리액턴스 [%]
| 기종 | $x_d$ | $x_d’$ | $x_d”$ | $x_2$ | $x_0$ |
|---|---|---|---|---|---|
| 수차(제동권선 유) | 100 | 30 | 20 | 20 | 2~20 |
| 수차(제동권선 무) | 100 | 35 | 35 | 45 | 4~25 |
| 터빈(수소 냉각) | 120 | 22 | 13 | 13 | 5~15 |
| 조상기(공기 냉각) | 110 | 31 | 19 | 21 | 2~15 |
발췌 표(책 표 7.2) — 시정수 열은 생략함.
2) 2권선 변압기의 %리액턴스
| 고압측 전압[kV] | %리액턴스 |
|---|---|
| 3~6 | 3 |
| 10~20 | 5 |
| 30 | 5.5 |
| 60~70 | 7.5 |
| 100 | 9 |
| 140~170 | 11 |
| 250 | 12 |
발췌 표(책 표 7.3) — 전압이 높을수록 %X가 크다.
3) 동기기 단락 전류의 시간 변화
- 단락 직후(차과도) — 초기 과도 리액턴스 $x_d”$ 로 제한 → 전류 최대
- 이어서(과도) — 과도 리액턴스 $x_d’$ 로 제한
- 정상 상태(동기) — 동기 리액턴스 $x_d$ 로 제한 → 전류 최소
- 크기 순서: $x_d”\lt x_d’\lt x_d$, 과도 시에는 직류분도 포함된다.
4) 선로의 대칭분 임피던스
- 선로는 정지기 → 정상 = 역상 임피던스 (작용 인덕턴스 $L$, 작용 정전 용량 $C$ 사용)
- 영상 임피던스는 대지를 귀로로 하는 인덕턴스 $L_e$, 대지 정전 용량 $C_s$ 사용
- 실용 근사: 영상 인덕턴스 ≈ 작용 인덕턴스의 1회선 약 4배, 2회선 약 7배
7.7 송전선의 고장 계산과 대칭분 회로 ★★
7.7.1 송전선의 고장 계산
실제 송전 계통은 발전기·변압기·부하·선로·중성점 접지까지 있어 복잡하다. 그러나 다음처럼 생각하면 쉽게 풀린다.
- 고장점 P의 3상 전선에서 가상의 단자 a, b, c를 끌어내고, 그 뒤쪽은 칸막이로 가린다.
- 칸막이 뒤의 복잡한 계통 = 하나의 등가 발전기(테브난 등가)로 본다.
- 고장 직전 P점의 상전압 = $\dot E_a$, 단자에서 본 대칭분 임피던스 = $\dot Z_0,\dot Z_1,\dot Z_2$
- 그러면 발전기의 기본식과 표 7.1을 그대로 적용한다. 예) 1선 지락: $\dot I_g=\dfrac{3\dot E_a}{\dot Z_0+\dot Z_1+\dot Z_2}$
→ 결국 문제는 고장점에서 본 $Z_0,Z_1,Z_2$를 구하는 것. 이를 위해 계통을 영상·정상·역상 회로로 나누어 계산한다.
7.7.2 대칭분 회로
1) 영상 회로
- 단자 a, b, c를 묶고 대지와의 사이에 단상 전원을 넣어 단상 교류를 흘릴 때 전류가 흐르는 범위
- 영상 전류는 변압기 △ 결선 내부를 순환할 뿐 밖으로 나가지 않는다 → 영상 회로에는 발전기·부하 정수가 들어가지 않고 변압기 임피던스 $Z_t$까지만 포함
- 중성점 접지 저항에는 3상분 $3I_0$가 흐르므로 1상분 회로에서는 $R_e\to3R_e$로 바꾼다.
ㄱ. 영상 임피던스
$$\dot Z_0=\frac{\dot Z_{0A}\dot Z_{0B}}{\dot Z_{0A}+\dot Z_{0B}},\qquad \dot Z_{0A}=\dot Z_{lA0}+\dot Z_{tA}+3R_{eA},\quad \dot Z_{0B}=\dot Z_{lB0}+\dot Z_{tB}+3R_{eB}\qquad(7.31)$$
ㄴ. 각 부 영상 전류 $\quad\dot I_{0A}=\dot V_0/\dot Z_{0A},\qquad \dot I_{0B}=\dot V_0/\dot Z_{0B}\qquad(7.32)$
2) 정상 회로
- 단자 a, b, c에 정상 3상 평형 전압을 걸어 $\dot I_1,a^2\dot I_1,a\dot I_1$을 흘릴 때의 범위
- 평형 전류라 중성점에는 전류가 없음 ($\dot I_1+a^2\dot I_1+a\dot I_1=0$) → 접지 저항은 포함되지 않는다.
- 전류가 변압기 △를 통해 흐르므로 발전기 $\dot Z_{g1}$, 부하(전동기) $\dot Z_{m1}$이 포함된다.
ㄱ. 정상 임피던스
$$\dot Z_1=\frac{\dot Z_{1A}\dot Z_{1B}}{\dot Z_{1A}+\dot Z_{1B}},\qquad \dot Z_{1A}=\dot Z_{lA1}+\dot Z_{tA}+\dot Z_{g1},\quad \dot Z_{1B}=\dot Z_{lB1}+\dot Z_{tB}+\dot Z_{m1}\qquad(7.33)$$
3) 역상 회로
- 정상과 반대 상회전의 평형 전압을 걸 때의 범위 — 전류가 흐르는 범위는 정상 회로와 똑같다.
- 다른 것은 발전기·전동기 같은 회전기의 정수뿐 (변압기·선로는 정상 = 역상)
- 고장 전류 순시값 계산에는 과도 임피던스를 쓰며, 이때는 $\dot Z_1=\dot Z_2$로 두어도 별 지장이 없다.
ㄱ. 역상 임피던스
$$\dot Z_2=\frac{\dot Z_{2A}\dot Z_{2B}}{\dot Z_{2A}+\dot Z_{2B}},\qquad \dot Z_{2A}=\dot Z_{lA2}+\dot Z_{tA}+\dot Z_{g2},\quad \dot Z_{2B}=\dot Z_{lB2}+\dot Z_{tB}+\dot Z_{m2}\qquad(7.34)$$
| 회로 | 발전기·전동기 | 변압기 | 선로 | 접지 저항 |
|---|---|---|---|---|
| 영상 | 포함 안 됨(△ 뒤) | 포함 | 영상값(≈4~7배) | $3R_e$로 포함 |
| 정상 | $Z_{g1}, Z_{m1}$ 포함 | 포함 | 작용 임피던스 | 포함 안 됨 |
| 역상 | $Z_{g2}, Z_{m2}$ 포함 | 포함(정상과 같음) | 작용 임피던스(정상과 같음) | 포함 안 됨 |
예제 7.11
그림 ⑪ 예제 7.11의 계통 (책 그림 7.23)
154[kV] 1회선 송전선(90[km]) 중앙 F점에서 1선 지락 시 지락 전류를 구하라. 발전기 300[MVA] $X_{1G}=X_{2G}=30$[%], 변압기 300[MVA] $X_T=12$[%](양단), 전동기 300[MVA] $X_{1M}=X_{2M}=40$[%], 선로 작용 인덕턴스 1.3[mH/km], 선로 영상 임피던스 = $Z_1$의 4배, 그 밖의 정수 무시.
풀이
- 선로 리액턴스 $$X_l=2\pi\times60\times1.3\times10^{-3}\times90=44.1\,[\Omega]$$ 154[kV], 300[MVA] 기준 %로: $$\%X_l=\frac{44.1\times300\times10^3}{10\times154^2}=55.8\,[\%],\qquad X_{l1}=X_{l2}=55.8,\quad X_{l0}=4\times55.8=223.2\,[\%]$$
- 정상·역상 (F점은 중앙 → 선로 절반씩) $$X_{1A}=30+12+\tfrac{55.8}{2}=69.9,\quad X_{1B}=40+12+\tfrac{55.8}{2}=79.9\,[\%]$$ $$X_1=X_2=\frac{69.9\times79.9}{69.9+79.9}\fallingdotseq37.3\,[\%]$$
- 영상 (발전기·전동기는 △ 뒤라 빠짐) $$X_{0A}=X_{0B}=12+\tfrac{223.2}{2}=123.6,\qquad X_0=\tfrac{123.6}{2}=61.8\,[\%]$$
- 지락 전류 $$I_n=\frac{300{,}000}{\sqrt3\times154}=1{,}125\,[\text{A}],\qquad I_0=\frac{100}{61.8+37.3+37.3}\times1{,}125\fallingdotseq825\,[\text{A}]$$ $$\boxed{I_g=3I_0=3\times825\fallingdotseq2{,}475\ [\text{A}]}$$
메모: 311쪽 이후가 사진에 없어 정상·영상 리액턴스부터 끝까지는 직접 풀어 채움. 변압기가 △-Y(중성점 직접 접지)라고 보고 계산함.
전기안전관리자 점검 포인트
현장 점검
ㄱ. 차단기·퓨즈의 차단 용량 적정성
- 수전 VCB·전력퓨즈(PF)·저압 ACB/MCCB 명판의 정격 차단 전류[kA]가 설치점의 예상 단락 전류보다 큰지 확인
- 저압 MCCB는 Icu(정격 한계 단락 차단 용량)를 확인 — 변압기 바로 아래 분기일수록 단락 전류가 크다.
- 차단 용량이 부족하면 단락 시 차단기가 차단하지 못하고 폭발·화재로 이어질 수 있다.
- 전력퓨즈는 한류형/비한류형 구분과 정격 차단 전류를 확인 — 큰 용량 변압기 앞단일수록 차단 성능을 꼼꼼히 본다.
ㄴ. 변압기 %Z와 설비 변경
- 변압기 명판의 %임피던스를 기록해 두고 단락 전류를 개략 계산($I_s=\frac{100}{\%Z}I_n$)해 둔다.
- 변압기 증설·교체·병렬 운전 시 합성 %Z가 작아져 단락 전류가 커진다 → 기존 차단기 차단 용량 재검토
ㄷ. 보호 계전기 정정과 보호 협조
- OCR 순시 요소·한시 요소 정정값이 계산 단락 전류와 맞는지, 한전 배전선로 계전기와 협조되는지 확인
- 정정값 변경·시험 결과는 기록으로 보관 (정기 계전기 시험 성적서)
ㄹ. 지락 보호 (영상분 검출)
- ZCT·GPT·OCGR/SGR/OVGR의 동작 시험, ZCT 관통 방향과 케이블 차폐 접지선 처리(차폐선은 ZCT를 되돌려 통과) 확인
- 저압측은 누전차단기 동작 시험(시험 버튼) 정기 실시
ㅁ. 불평형·결상 (역상분)
- 상별 전압·전류를 측정해 불평형 확인, 단상 부하가 한 상에 몰리지 않게 분배
- 전동기 회로는 결상·역상 보호(EOCR, 역상 계전기) 동작 여부 확인 — 역상분은 전동기 과열의 원인
⚠ 안전 주의: 차단기 명판 확인·계전기 시험은 반드시 정전·검전·접지 후 실시하고, 활선 근접 작업 시에는 절연 보호구를 착용한다. 계전기 정정값 변경은 보호 협조 검토 후 기록과 함께 진행한다.
최종 정리
1. 고장 계산의 목적
- 차단기 차단 용량 결정, 보호 계전기 정정, 전자력 추정, 유도 장해 검토
- 가장 많은 사고 = 1선 지락, 가장 큰 전류 = 3상 단락
2. 3상 단락 (평형 고장)
- 옴법: $I_s=\dfrac{E}{Z}$, $P_s=\sqrt3VI_s$
- %법: $I_s=\dfrac{100}{\%Z}I_n$, $P_s=\dfrac{100}{\%Z}P_n$
- 기준 용량 환산: $\%Z_{\text{기준}}=\%Z\times\dfrac{P_{\text{기준}}}{P_{\text{자기}}}$, $\%Z=\dfrac{PZ}{10V^2}$
3. 대칭 좌표법
- $a=1\angle120^\circ$, $1+a+a^2=0$, $a^3=1$
- $\dot I_0=\frac13(\dot I_a+\dot I_b+\dot I_c)$, $\dot I_1=\frac13(\dot I_a+a\dot I_b+a^2\dot I_c)$, $\dot I_2=\frac13(\dot I_a+a^2\dot I_b+a\dot I_c)$
- 영상 = 지락 계전기·유도 장해 / 정상 = 회전 토크 / 역상 = 제동·과열
4. 발전기 기본식과 고장 계산
- $\dot V_0=-\dot Z_0\dot I_0$, $\dot V_1=\dot E_a-\dot Z_1\dot I_1$, $\dot V_2=-\dot Z_2\dot I_2$ (기전력은 정상분에만)
- 1선 지락: $\dot I_0=\dot I_1=\dot I_2$, $I_g=\dfrac{3E_a}{Z_0+Z_1+Z_2}$
- 3상 단락: $I=\dfrac{E_a}{Z_1}$ / 선간 단락: $I=\dfrac{E_{bc}}{Z_1+Z_2}$
5. 대칭분 회로
- 영상 회로: △ 내부 순환 → 발전기·부하 제외, 접지 저항은 $3R_e$
- 정상·역상 회로: 발전기·전동기 포함, 접지 저항 제외, 선로·변압기는 정상 = 역상
- 리액턴스 크기: $x_d''\lt x_d'\lt x_d$ / 선로 영상 ≈ 정상의 4배(1회선)·7배(2회선)